Question

12．已知x₁、x₂是函数f（x）=|lnx|-e^-x的两个零点，则x₁x₂所在区间是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （$\frac{1}{e}$，1）
• C． （1，2）
• D． （2，e）

Answer 1

分析 能够分析出f（x）的零点便是函数|lnx|和函数e^-x交点的横坐标，从而可画出这两个函数图象，由图象可看出$\left\{\begin{array}{l}{0＜-ln{x}_{1}＜1}\\{0＜ln{x}_{2}＜1}\\{-ln{x}_{1}＞ln{x}_{2}}\end{array}\right.$，这样即可得出-1＜lnx₁x₂＜0，根据对数函数的单调性即可求出$\frac{1}{e}＜{x}_{1}{x}_{2}＜1$．

解答 解：令f（x）=0，∴|lnx|=e^-x；
∴函数f（x）的零点便是上面方程的解，即是函数|lnx|和函数e^-x的交点，画出这两个函数图象如下：
由图看出0＜-lnx₁＜1，-1＜lnx₁＜0，0＜lnx₂＜1；
∴-1＜lnx₁+lnx₂＜1；
∴-1＜lnx₁x₂＜1；
∴$\frac{1}{e}＜{x}_{1}{x}_{2}＜e$；
由图还可看出，-lnx₁＞lnx₂；
∴lnx₁x₂＜0，x₁x₂＜1；
∴x₁x₂的范围是（$\frac{1}{e}，1$）．
故选B．

点评 考查函数零点的概念，函数零点和方程解的关系，方程f（x）=g（x）的解和函数f（x）与g（x）交点的关系，对数的运算，以及对数函数的单调性．