Question

4．设数列满足a₁=3，（2-a_n）•a_n+1=1，则数列{a_n}的通项公式是a_n=$\frac{2n-5}{2n-3}$．

Answer 1

分析 通过写出前几项猜测通项公式，然后利用数学归纳法证明即可．

解答 解：∵a₁=3，（2-a_n）•a_n+1=1，
∴a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$，
∴a₂=$\frac{1}{2-3}$=-1，a₃=$\frac{1}{2-（-1）}$=$\frac{1}{3}$，a₄=$\frac{1}{2-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{5}$，
…
猜想：数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{2n-5}{2n-3}$．
下面用数学归纳法证明：
当n=1时，显然成立；
假设当n=k时，有a_k=$\frac{2k-5}{2k-3}$，
∵（2-a_n）•a_n+1=1，
∴a_k+1=$\frac{1}{2-{a}_{k}}$=$\frac{1}{2-\frac{2k-5}{2k-3}}$=$\frac{1}{\frac{2k-1}{2k-3}}$=$\frac{2k-3}{2k-1}$=$\frac{2（k+1）-5}{2（k+1）-3}$，
即当n=k+1时也成立，
故数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{2n-5}{2n-3}$．

点评 本题考查求数列的通项，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．