Question

14．在正三角形ABC中，E、F、P分别是-AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连结A₁B、A₁P（如图2）．

（1）求证：A₁E⊥平面BEP；
（2）求二面角B一A₁P一F的余弦值的大小．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直的判定定理即可证明A₁E⊥平面BEP；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B一A₁P一F的余弦值的大小．

解答 解：不妨设正三角形ABC 的边长为 3．
（1）在图1中，取BE的中点D，连结DF．
∵AE：EB=CF：FA=1：2，
∴AF=AD=2．…（2分）
而∠A=60°，∴△ADF是正三角形．
又AE=DE=1，∴EF⊥AD．…（4分）
在图2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A₁EB为二面角A₁-EF-B的平面角．
由题设条件知此二面角为直二面角，
∴A₁E⊥BE．又BE∩EF=E，
∴A₁E⊥平面BEF，即A₁E⊥平面BEP．…（6分）
（2）由（1）知，即A₁E⊥平面BEP，BE⊥EF．

以E为原点，以EB、EF、EA₁分别为x、y、z轴建立如图3所示的坐标系如图，…（7分）
$则{A_1}（0，0，1），B（2，0，0），F（0，\sqrt{3}，0），P（1，\sqrt{3}，0）$．…（8分）
∴$\overrightarrow{{A_1}B}=（2，0，-1），\overrightarrow{{A_1}P}=（1，\sqrt{3}，-1），\overrightarrow{{A_1}F}=（0，\sqrt{3}，-1）$．…（9分）$设\overrightarrow m=（{x_1}，{y_1}，{z_1}），\overrightarrow n=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）分别是平面{A_1}BP和平面{A_1}PF的法向量$，
$由\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{{A_1}B}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{{A_1}P}=0.\end{array}\right.得\left\{\begin{array}{l}2{x_1}-{z_1}=0\\{x_1}+\sqrt{3}{y_1}-{z_1}=0.\end{array}\right.$…（10分），
$取{y_1}=1，得\overrightarrow m=（\sqrt{3}，1，2\sqrt{3}）$．…（11分），
$由\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{{A_1}F}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{{A_1}P}=0.\end{array}\right.得\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}{y_2}-{z_2}=0\\{x_2}+\sqrt{3}{y_2}-{z_2}=0.\end{array}\right.$$取{y_2}=1，得\overrightarrow n=（0，1，\sqrt{3}）$．…（12分），
$所以cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{|\overrightarrow m||\overrightarrow n|}=\frac{7}{8}$．…（13分）
因为二面角B-A₁P-F为钝角，$所以二面角B-{A_1}P-F的余弦值为-\frac{7}{8}$．…（14分）

点评 本题主要考查空间线面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．