Question

4．已知椭圆C的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），短轴的两个端点分别为B₁，B₂，且∠B₁F₁B₂=90°．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点F₂的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且以线段PQ为直径的圆经过左焦点F₁，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，由椭圆的对称性质，得到椭圆的标准方程．
（2）分当直线l的斜率不存在时和直线斜率存在时两种情况进行讨论，直线与椭圆联立求得相关结论．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，由椭圆的对称性质，
知∠OF₁B₂=45°，所以短半轴长b=c=1，
所以a²=b²+c²=2．椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（3分）
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=2\\ x=1\end{array}\right.$，解得$x=1，y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，设$P（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，$Q（1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，$\overrightarrow{{F_1}P}•\overrightarrow{{F_1}Q}=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}≠0$，
∴∠PF₁Q≠90°，不满足条件．…（4分）
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）.$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=2\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$，消去y并整理，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．…（6分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∴${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$．…（7分）
由题意知∠PF₁Q=90°，即$\overrightarrow{{F_1}P}•\overrightarrow{{F_1}Q}=0$．…（8分）
$\overrightarrow{{F_1}P}•\overrightarrow{{F_1}Q}=（{x_1}+1）（{x_2}+1）+{y_1}{y_2}$=$（{x_1}+1）（{x_2}+1）+{k^2}（{x_1}-1）（{x_2}-1）$
=$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+（1-{k^2}）（{x_1}+{x_2}）+1+{k^2}$=$（1+{k^2}）•\frac{{2（{k^2}-1）}}{{1+2{k^2}}}+（1-{k^2}）•\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}+1+{k^2}$
=$\frac{{7{k^2}-1}}{{1+2{k^2}}}=0$，解得$k=±\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．…（11分）
直线l的方程为：$x+\sqrt{7}y-1=0$和$x-\sqrt{7}y-1=0$．…（12分）

点评 本题主要考查椭圆性质的应用和直线与椭圆得位置关系的求解，在高考中属于中档题型．