Question

4．如图所示，由圆x²+y²=9上一点M向x轴引垂线，垂足为N，设P为线段MN的中点，当点M变动时，选择适当的参数，求点P的轨迹的参数方程，并说明它表示什么曲线．

Answer 1

分析 由题意设出圆的参数方程，得到M坐标，利用中点坐标公式求得P的坐标，则点P的轨迹的参数方程可求，化参数方程为普通方程，可得P的轨迹为椭圆．

解答 解：由题意设M（3cosθ，3sinθ）（θ为参数），
则N（3cosθ，0），
∵P为线段MN的中点，∴P（3cosθ，$\frac{3}{2}sinθ$），
∴点P的轨迹的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=\frac{3}{2}sinθ}\end{array}\right.$．
由为$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=\frac{3}{2}sinθ}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{3}=cosθ}\\{\frac{2y}{3}=sinθ}\end{array}\right.$，
两式平方作和得：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{4{y}^{2}}{9}=1$，表示焦点在x轴上的椭圆．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查了圆与椭圆的参数方程，是基础题．