Question

12．已知D=$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+k≥0}\\{x+y≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$，?m（x，y）∈D恒有2x-5y+10k+15＞0，?N（x₀，y₀）∈D使得-7x₀+2y₀-5k²+2＞0，则k∈$\frac{1}{5}$＜k＜1．

Answer 1

分析 对于区域D内的任意一个点M（x，y），恒有2x-5y+10k+15＞0成立可化为（2x-5y）_min＞-10k-15；在区域D内存在点N（x₀，y₀），满足一7x₀+2y₀一5k²+2＞0可化为（一7x₀+2y₀）_max＞5k²-2；故由题意作出区域D，从而由线性规划化为最优解，从而求最值即可

解答 解：由题意作出区域D如图，且A（-$\frac{k}{3}$，$\frac{k}{3}$），B（2，-2），C（2，k+4），
设z₁=2x-5y，则y=$\frac{2}{5}$x-$\frac{1}{5}$z₁，
当直线y=$\frac{2}{5}$x-$\frac{1}{5}$z₁过点C（2，k+4）时，其在y轴上的截距-$\frac{1}{5}$z₁最大，即z₁最小为-5k-16，
由2x-5y+10k+15＞0恒成立知，-5k-16＞-10k-15，即k＞$\frac{1}{5}$；
设z₂=-7x+2y，则y=$\frac{7}{2}$x+$\frac{1}{2}$z₂，
当直线y=$\frac{7}{2}$x+$\frac{1}{2}$z₂，
过点A（-$\frac{k}{3}$，$\frac{k}{3}$），时，其在y轴上的截距$\frac{1}{2}$z₂大，即z₂最大，此时z₂=3k；
故存在点N（x₀，y₀），满足一7x₀+2y₀一5k²+2＞0可化为3k一5k²+2＞0，
故-$\frac{2}{5}$＜k＜1，
综上所述，$\frac{1}{5}$＜k＜1，
故答案为：$\frac{1}{5}$＜k＜1

点评 本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，同时考查了恒成立问题及存在性问题，属于难题．