Question

9．已知函数f（x）=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+cos（4x-$\frac{π}{6}$）
（1）求该函数的单调区间，最大、最小值；
（2）设g（x）=f（x+a），若g（x）的图象关于y轴对称，求实数a的最小正值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式对原函数解析式化简，进而利用三角函数图象与性质求得函数的最大最小值，以及单调区间．
（2）先确定g（x）的解析式，进而利用三角函数的性质求得a的最小值．

解答 解（1）f（x）=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+cos（4x-$\frac{π}{6}$）=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+sin（$\frac{π}{3}$+4x）=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），
∴函数f（x）的最大值为2，最小值为-2，
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，求得递减区间[$\frac{π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{7π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$]（k∈Z），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得递增区间[-$\frac{5π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$]（k∈Z）．
（2）g（x）=2sin[4（x+a）+$\frac{π}{3}$]，
图象关于y轴对称，得到g（x）=2cos4x，
则4a+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，
∴a=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{24}$，k∈Z．
∴a最小正值$\frac{π}{24}$．

点评 本题主要考查了三角函数图象与性质，诱导公式的应用．注意在解题过程中与函数的图象相结合．