Question

1．已知过x轴上一点E（x₀，0）（0＜x₀＜$\sqrt{2}$）的直线l与椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1相交于M、N两点，若$\frac{1}{E{M}^{2}}$+$\frac{1}{E{N}^{2}}$为定值，则x₀的值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 设直线MN的参数方程，可得M，N的坐标，把直线MN的方程代入椭圆的方程，得到根与系数的关系，可得$\frac{1}{E{M}^{2}}$+$\frac{1}{E{N}^{2}}$=$\frac{2{{x}_{0}}^{2}+4+（4-6{{x}_{0}}^{2}）si{n}^{2}α}{（{{x}_{0}}^{2}-2）^{2}}$，由于$\frac{1}{E{M}^{2}}$+$\frac{1}{E{N}^{2}}$为定值，因此4-6x₀²=0，解出即可．

解答 解：设直线MN的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$．
M（x₀+t₁cosα，t₁sinα），N（x₀+t₂cosα，t₂sinα）．．
把直线MN的方程代入椭圆的方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
化为（1+sin²α）t²+2x₀tcosα+x₀²-2=0．
∴t₁+t₂=$\frac{2{x}_{0}cosα}{1+si{n}^{2}α}$，t₁t₂=$\frac{{{x}_{0}}^{2}-2}{1+si{n}^{2}α}$．
∴t₁²+t₂²=$\frac{2{{x}_{0}}^{2}+4+（4-6{x}_{0}）si{n}^{2}α}{（1+si{n}^{2}α）^{2}}$
∴$\frac{1}{E{M}^{2}}$+$\frac{1}{E{N}^{2}}$=$\frac{2{{x}_{0}}^{2}+4+（4-6{{x}_{0}}^{2}）si{n}^{2}α}{（{{x}_{0}}^{2}-2）^{2}}$．
∵$\frac{1}{E{M}^{2}}$+$\frac{1}{E{N}^{2}}$为定值，
∴4-6x₀²=0，又x₀＞0．
解得x₀=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了直线与椭圆相交定值问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线的参数方程及其参数的意义，考查了推理能力和计算能力，属于难题．