Question

6．如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，CE为圆O的直径，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面．
（1）求证：CD⊥平面AED；
（2）设异面直线CB与DE所成的角为$\frac{π}{6}$且AE=1，将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积．

Answer 1

分析 （1）通过证明CD⊥ED，CD⊥AE，然后证明CD⊥平面AED．
（2）所求问题实际是将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．求解即可．

解答 解：（1）证明：因为CE为圆O的直径，所以$∠CDE=\frac{π}{2}$，即CD⊥ED…2分
又因为AE垂直于圆面，CD⊥AE所在平面，所以CD⊥AE…4分
又CD⊥ED，所以CD⊥平面AED…5分
（2）由题意知，将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．
因为异面直线CB与DE所成角为$\frac{π}{6}$，且CB∥DA，所以$∠ADE=\frac{π}{6}$，…7分
又因为AE=1，所以，在Rt△AED中，$DE=\sqrt{3}$，DA=2…9分
在Rt△CDE中，CD=DA=2，$DE=\sqrt{3}$，所以$CE=\sqrt{7}$…10分
所以该几何体的体积$V=\frac{1}{3}π•C{E^2}•AE-\frac{1}{3}π•D{E^2}•AE=\frac{4}{3}π$…12分．

点评 本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的判断，考查逻辑推理能力以及计算能力．