Question

9．已知定义在区间[0，+∞）上的函数y=f（x）满足下列三个条件：
①对任意的x＞0，y＞0，总有f[x•f（y）]•f（y）=f（x+y）成立；
②f（2）=0；
③当0＜x＜2时，总有f（x）≠0．
则f（3）+f（$\frac{1}{2}$）的值为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 可令x=1，y=2，求得f（3）=0，再令x=$\frac{3}{2}$，y=$\frac{1}{2}$，则f[$\frac{3}{2}$f（$\frac{1}{2}$）]•f（$\frac{1}{2}$）=f（2），结合条件②③，即可得到f（$\frac{1}{2}$）．

解答 解：令x=1，y=2，由f[x•f（y）]•f（y）=f（x+y）成立，
即有f[f（2）]•f（2）=f（1+2），
又f（2）=0，则f（3）=0，
再令x=$\frac{3}{2}$，y=$\frac{1}{2}$，则f[$\frac{3}{2}$f（$\frac{1}{2}$）]•f（$\frac{1}{2}$）=f（2），
又f（2）=0，且当0＜x＜2时，总有f（x）≠0，
则有f[$\frac{3}{2}$f（$\frac{1}{2}$）]=0=f（2），
即有$\frac{3}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=2，
即有f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{4}{3}$，
则f（3）+f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查抽象函数的运用：求函数值，注意运用赋值法，考查运算能力，属于中档题．