Question

8．已知数列{a_n}满足a_n≠0，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n-1-a_n=2a_n•a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求证：$（{\frac{1}{a_n}}）$是等差数列；
（2）设b_n=a_n•a_n+1，{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）由题意化简已知的式子，由条件求出数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的首项，根据等差数列的定义即可证明结论；
（2）由（1）和等差数列的通项公式求出$\frac{1}{{a}_{n}}$，化简后代入b_n化简，利用裂项相消法求出数列{b_n}的前n项和S_n，即可证明结论．

解答 证明：（1）∵a_n-1-a_n=2a_n•a_n-1（n≥2），a_n≠0，
∴两边同除a_na_n-1，得$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=2$（n≥2），
又a₁=$\frac{1}{3}$，
∴$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是以3为首项，2为公差的等差数列．…（6分）
（2）由（1）知：$\frac{1}{a_n}=3+（{n-1}）•2=2n+1$，
∴${a_n}=\frac{1}{2n+1}$…（8分）
∴${b_n}={a_n}•{a_{n+1}}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}$），
则${S}_{n}=\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）=\frac{1}{6}-\frac{1}{4n+6}$，
∴${S_n}＜\frac{1}{6}$…（12分）．

点评 本题考查了等差数列的定义、通项公式，以及裂项相消法求数列的前n项和，是数列与不等式的综合题，属于中档题．