Question

15．已知函数$f（x）=\frac{{\sqrt{|x|}}}{e^x}（{x∈R}）$，若关于x的方程f²（x）-mf（x）+m-1=0恰好有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）

• A． $（{1\;，\;\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}+1}）$
• B． $（{0\;，\;\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}}）$
• C． $（{1\;，\;\frac{1}{e}+1}）$
• D． $（{\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}\;，\;1}）$

Answer 1

分析 求函数的导数，判断函数的取值情况，设m=f（x），利用换元法，将方程转化为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论．

解答 解：化简可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{x}}{{e}^{x}，}}&{x≥0}\\{\frac{\sqrt{-x}}{{e}^{x}}，}&{x＜0}\end{array}\right.$，
当x＞0时，f（x）≥0，f′（x）=$\frac{（\sqrt{x}）′{e}^{x}-\sqrt{x}•{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}}{{e}^{x}}$=$\frac{1-2x}{2\sqrt{x}{e}^{x}}$，
当0＜x＜$\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0，当x＞$\frac{1}{2}$时，f′（x）＜0，
故当x=$\frac{1}{2}$时，函数f（x）有极大值f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}}}{{e}^{\frac{1}{2}}}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{e}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{e}}$=$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$；
当x＜0时，f′（x）=$\frac{-\frac{1}{2\sqrt{-x}}•{e}^{x}-\sqrt{-x}•{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{-1+2x}{2\sqrt{-x}•{e}^{x}}$＜0，f（x）为减函数，
作出函数f（x）对应的图象如图：
∴函数f（x）在（0，+∞）上有一个最大值为f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$；
设t=f（x），
当t＞$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$时，方程t=f（x）有1个解，
当t=$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$时，方程t=f（x）有2个解，
当0＜t＜$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$时，方程t=f（x）有3个解，
当t=0时，方程t=f（x）有1个解，
当t＜0时，方程m=f（x）有0个解，
则方程f²（x）-mf（x）+m-1=0等价为t²-mt+m-1=0，
等价为方程t²-mt+m-1=（t-1）[t-（m-1）]=0有两个不同的根t=1，或t=m-1，
当t=1时，方程t=f（x）有1个解，
要使关于x的方程f²（x）-mf（x）+m-1=0恰好有4个不相等的实数根，
则t=m-1∈（0，$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$），
即0＜m-1＜$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$，解得1＜m＜$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$+1，
则m的取值范围是（1，$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$+1）
故选：A

点评 本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，利用换元法转化为一元二次方程，是解决本题的关键．