Question

7．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
（1﹚求证：$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{sin（A-B）}{sinC}$
﹙2﹚若b=acosC，判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）已知等式左边利用正弦定理化简，再利用二倍角的余弦函数公式变形，整理即可得证；
（2）利用余弦定理表示出cosC，代入已知等式化简，再利用勾股定理即可判断出三角形形状．

解答 （1）证明：由正弦定理得：$\frac{a}{c}$=$\frac{sinA}{sinC}$，$\frac{b}{c}$=$\frac{sinB}{sinC}$，
∴$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$-$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{si{n}^{2}A}{si{n}^{2}C}$-$\frac{si{n}^{2}B}{si{n}^{2}C}$=$\frac{\frac{1-cos2A}{2}-\frac{1-cos2B}{2}}{si{n}^{2}C}$
=$\frac{cos2B-cos2A}{2si{n}^{2}C}$=$\frac{cos[（A+B）-（A-B）]-cos[（A+B）+（A-B）]}{2si{n}^{2}C}$
=$\frac{cos（A+B）cos（A-B）+sin（A+B）sin（A-B）-cos（A+B）cos（A-B）+sin（A+B）sin（A-B）}{2si{n}^{2}C}$
=$\frac{2sin（A+B）sin（A-B）}{2si{n}^{2}C}$=$\frac{sin（A-B）}{sinC}$；
（2）解：∵cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，b=acosC，
∴b=a•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2b}$，
整理得：b²+c²=a²，
∴A为直角，
则△ABC为直角三角形．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．