Question

19．已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C对的边分别为a、b、c，若$\frac{sin（A+B）}{1+cos（A+B）}$=2sinC，c=1，则$\frac{1}{2}$b+a的最大值为$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 先利用诱导公式对已知等式化简求得cosC的值，进而利用余弦定理确定a和b等式，设出$\frac{1}{2}$b+a=t，代入得到关于a的一元二次函数，利用判别式法求得t的最大值．

解答 解：$\frac{sin（A+B）}{1+cos（A+B）}$=$\frac{sinC}{1-cosC}$=2sinC，求得cosC=$\frac{1}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-1}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
整理得a²+b²-1=ab，①
设$\frac{1}{2}$b+a=t，则b=2（t-a），代入①中整理得，
7a²-10at+4t²-1=0，
要使方程有解需△=100t²-28•（4t²-1）≥0，
求得0＜t≤$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数化简求值，余弦定理的应用．解题的关键是利用转化与化归的思想，利用代数法确定最大值．