Question

12．直线l与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1相交于A，B两点，若弦AB中点为（-1，$\frac{1}{2}$），则直线l的方程为x-2y+2=0．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$+${y}_{1}^{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+{y}_{2}^{2}=1$，两式相减，再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$+${y}_{1}^{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+{y}_{2}^{2}=1$，
两式相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∵弦AB中点为（-1，$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{-2}{4}+{k}_{AB}$=0，
∴k_AB=$\frac{1}{2}$．
∴直线l的方程为y-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（x+1），解得x-2y+2=0．
故答案为：x-2y+2=0．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．