Question

12．如图，一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置C对隧道底AB的张角θ最大时采集效果最好，则采集效果最好时位置C到AB的距离是（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$m
• B． 2$\sqrt{3}$m
• C． 4 m
• D． 6 m

Answer 1

分析 建立如图所示的坐标系，求出抛物线的方程，设C（x，y）（y＞-6），由A（-3，-6），B（3，-6），可得k_CA=$\frac{y+6}{x+4}$，k_CB=$\frac{y+6}{x-4}$，求出tan∠BCA，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x²=-2py（p＞0），
将点（4，-4）代入，可得p=2，
所以抛物线方程为x²=-4y，
设C（x，y）（y＞-6），则
由A（-4，-6），B（4，-6），可得k_CA=$\frac{y+6}{x+4}$，k_CB=$\frac{y+6}{x-4}$，
∴tan∠BCA=$\frac{\frac{y+6}{x+4}-\frac{y+6}{x-4}}{1+\frac{y+6}{x+4}•\frac{y+6}{x-4}}$=$\frac{-8（y+6）}{{x}^{2}-16+（y+6）^{2}}$=$\frac{-8（y+6）}{{y}^{2}+8y+20}$，
令t=y+6（t＞0），则tan∠BCA=$\frac{-8t}{{t}^{2}-4t+8}$=$\frac{-8}{t+\frac{8}{t}-4}$≥$\frac{-8}{4\sqrt{2}-4}$
∴t=2$\sqrt{2}$时，位置C对隧道底AB的张角最大，
故选：A．

点评 本题考查抛物线的方程与应用，考查基本不等式，确定抛物线的方程及tan∠BCA，正确运用基本不等式是关键．