Question

1．已知函数f（x）和g（x）是两个定义在区间M上的函数，若对任意的x∈M，存在常数x₀∈M，使得f（x）≥f（x₀），g（x）≥g（x₀），且f（x₀）=g（x₀），则称函数f（x）和g（x）在区间M上是“相似函数”，若f（x）=|log₂（x-1）|+b与g（x）=x³-3x²+8在[$\frac{5}{4}$，3]上是“相似函数”，则函数f（x）在区间[$\frac{5}{4}$，3]上的最大值为（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 由对数函数的性质可得f（x）的值域，再由导数求得g（x）的值域，根据新定义，可得b=4，即可得到所求的最大值．

解答 解：f（x）=|log₂（x-1）|+b在区间[$\frac{5}{4}$，3]上的值域为[b，b+2]，
g（x）=x³-3x²+8的导数为g′（x）=3x²-6x，g′（x）=0解得x=2，
由g（2）=4，g（$\frac{5}{4}$）=$\frac{337}{64}$，g（3）=8，即有g（x）的值域为[4，8]，
由“相似函数”可得f（2）=g（2），即b=4，
则函数f（x）在区间[$\frac{5}{4}$，3]上的最大值为b+2=6，
故选：C．

点评 本题考查新定义的理解和运用，主要考查对数函数的性质和导数的运用：求最值，属于中档题．