Question

11．给出三条直线l₁：4x+y=4，l₂：mx+y=0，l₃：2x-3my=4．
（1）m为何值时，三线共点；
（2）m=0时，三条直线能围成一个三角形吗？
（3）求当三条直线围成三角形时，m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出两条直线的交点坐标代入第三条直线，求解m即可；
（2）通过m=0时，转化三条直线方程判断能围成一个三角形．
（3）由三条直线中的任意两条平行求得m的值，再由三条直线相交于一点求得m的值，则l₁，l₂，l₃不能围成一个三角形的m的所有取值组成的集合可求．

解答 解：（1）直线l₁：4x+y=4，l₂：mx+y=0，的交点坐标为：（$\frac{4}{4-m}$，-$\frac{4m}{4-m}$），
交点代入直线l₃：2x-3my=4．可得：m=-1，或m=$\frac{2}{3}$．此时三条直线共点．
（2）m=0时，三条直线l₁：4x+y=4，l₂：mx+y=0，l₃：2x-3my=4．
化为三条直线l₁：4x+y=4，l₂：y=0，l₃：x=2．
显然三条直线能够组成一个三角形．
（3）解：当直线l₁：4x+y-4=0 平行于 l₂：mx+y=0时，m=4．
当直线l₁：4x+y-4=0 平行于 l₃：2x-3my-4=0时，m=-$\frac{1}{6}$，
当l₂：mx+y=0 平行于 l₃：2x-3my-4=0时，-m=$\frac{2}{3m}$，m无解．
当三条直线经过同一个点时，把直线l₁ 与l₂的交点（$\frac{4}{4-m}$，-$\frac{4m}{4-m}$）代入l₃：2x-3my-4=0，解得m=-1或$\frac{2}{3}$．
综上，m为4或-$\frac{1}{6}$或-1或$\frac{2}{3}$．三条直线不能构成三角形．
故当三条直线围成三角形时，m的取值范围（-∞，-1）∪（-1，$-\frac{1}{6}$）∪（$-\frac{1}{6}$，$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{2}{3}，4$）∪（4，+∞）

点评 本题考查了两直线平行的条件，考查了两直线交点坐标的求法，是中档题．