Question

2．若实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤3}\\{x+2y≥3}\\{2x+y≥3}\end{array}\right.$，则x²+5y²的取值范围为[5，45]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，设x²+5y²=z，利用椭圆的方程和性质，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：设x²+5y²=z，则z＞0，
即$\frac{{x}^{2}}{z}+\frac{{y}^{2}}{\frac{z}{5}}=1$，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由图象知，当椭圆经过C（0，3）时，z最大，
此时z=5×3²=5×9=45，
当椭圆与直线AB：x+2y=3相切时，z最小，
将x+2y=3代入x²+5y²=z消去x得9y²-12y+9-z=0，
由判别式△=0得144-4×9（9-z）=0，
即4=9-z，
解得z=5，
故5≤z≤45，
故x²+5y²的取值范围为是[5，45]，
故答案为：[5，45]

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用椭圆的图象和性质是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．