Question

5．已知直线l与圆锥曲线C相交于两点A，B，与x轴，y轴分别交于D、E两点，且满足$\overrightarrow{EA}={λ_1}\overrightarrow{AD}$ $\overrightarrow{EB}={λ_2}\overrightarrow{BD}$
（1）已知直线l的方程为y=2x-4，抛物线C的方程为y²=4x，求λ₁+λ₂的值；
（2）已知直线l：x=my+1（m＞1），椭圆C：$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1，求$\frac{1}{λ_1}+\frac{1}{λ_2}$的取值范围；
（3）已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}=1，{λ}_{1}+{λ}_{2}=6$，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）通过直线l的方程可得D、E坐标，将y=2x-4代入y²=4x可得点A、B坐标，利用$\overrightarrow{EA}={λ_1}\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{EB}={λ_2}\overrightarrow{BD}$，计算即可；
（2）通过联立x=my+1（m＞1）与$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1，利用韦达定理、$\overrightarrow{EA}={λ_1}\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{EB}={λ_2}\overrightarrow{BD}$，计算即得结论；
（3）通过设直线l的方程并与双曲线C方程联立，利用韦达定理、$\overrightarrow{EA}={λ_1}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{EB}={λ_2}\overrightarrow{BD}$，计算即可．

解答 解：（1）将y=2x-4代入y²=4x，求得点A（1，-2），B（4，4），
又∵D（2，0），E（0，-4），且$\overrightarrow{EA}={λ_1}\overrightarrow{AD}$，
∴（1，2）=λ₁（1，2）=（λ₁，2λ₁），即λ₁=1，
同理由$\overrightarrow{EB}={λ_2}\overrightarrow{BD}$，可得λ₂=-2，
∴λ₁+λ₂=-1；
（2）联立x=my+1（m＞1）与$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1，
消去x可得：（2+m²）y²+2my-1=0，
由韦达定理可得：y₁+y₂=-$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{1}{2+{m}^{2}}$，
∵D（1，0），E（0，-$\frac{1}{m}$），且$\overrightarrow{EA}={λ_1}\overrightarrow{AD}$，
∴y₁+$\frac{1}{m}$=-λ₁y₁，∴λ₁=-（1+$\frac{1}{m}•\frac{1}{{y}_{1}}$），
同理由$\overrightarrow{EB}={λ_2}\overrightarrow{BD}$，可得y₂+$\frac{1}{m}$=-λ₂y₂，∴λ₂=-（1+$\frac{1}{m}•\frac{1}{{y}_{2}}$），
∴λ₁+λ₂=-（1+$\frac{1}{m}•\frac{1}{{y}_{1}}$）-（1+$\frac{1}{m}•\frac{1}{{y}_{2}}$）=-2-$\frac{1}{m}•\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=-2-$\frac{1}{m}•2m$=-4，
∴$\frac{1}{λ_1}+\frac{1}{λ_2}$=-$\frac{4}{{λ}_{1}{λ}_{2}}$=$\frac{4}{{{λ}_{1}}^{2}+4{λ}_{1}}$=$\frac{4}{（2+{λ}_{2}）^{2}-4}$，
∵m＞1，∴点A在椭圆上位于第三象限的部分上运动，
由分点的性质可得λ₁∈（$\sqrt{2}-2$，0），
∴$\frac{1}{λ_1}+\frac{1}{λ_2}$∈（-∞，-2）；
（3）设直线l的方程为：x=my+t，代入双曲线C方程，
消去x得：（-3+m²）y²+2mty+（t²-3）=0，
由韦达定理可得：y₁+y₂=-$\frac{2mt}{{m}^{2}-3}$，y₁y₂=-$\frac{{t}^{2}-3}{{m}^{2}-3}$，∴$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$=-$\frac{2mt}{{t}^{2}-3}$，
由$\overrightarrow{EA}={λ_1}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{EB}={λ_2}\overrightarrow{BD}$可得：-（λ₁+λ₂）=2+$\frac{t}{m}$•（$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$），
∵λ₁+λ₂=6，∴2+$\frac{t}{m}$•（-$\frac{2mt}{{t}^{2}-3}$）=-6，解得t=±2，
∴点D（±2，0）；
当直线l与x轴重合时，λ₁=-$\frac{a}{t+a}$，λ₂=$\frac{a}{t-a}$或者λ₁=$\frac{a}{t-a}$，λ₂=-$\frac{a}{t+a}$，
∴都有λ₁+λ₂=$\frac{2{a}^{2}}{{t}^{2}-{a}^{2}}$=6也满足要求，
∴在x轴上存在定点D（±2，0）．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．