Question

19．如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．
（1）圆C的标准方程为（x-1）²+（y-$\sqrt{2}$）²=2；
（2）过点A任作一条直线与圆O：x²+y²=1相交于M，N两点，下列三个结论：
①$\frac{|NA|}{|NB|}$=$\frac{|MA|}{|MB|}$；  ②$\frac{|NB|}{|NA|}$-$\frac{|MA|}{|MB|}$=2；  ③$\frac{|NB|}{|NA|}$+$\frac{|MA|}{|MB|}$=2$\sqrt{2}$．
其中正确结论的序号是①②③．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 （1）取AB的中点E，通过圆C与x轴相切于点T，利用弦心距、半径与半弦长之间的关系，计算即可；
（2）设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），计算出$\frac{|MA|}{|MB|}$、$\frac{|NA|}{|NB|}$、$\frac{|NB|}{|NA|}$的值即可．

解答 解：（1）∵圆C与x轴相切于点T（1，0），
∴圆心的横坐标x=1，取AB的中点E，
∵|AB|=2，∴|BE|=1，
则|BC|=$\sqrt{2}$，即圆的半径r=|BC|=$\sqrt{2}$，
∴圆心C（1，$\sqrt{2}$），
则圆的标准方程为（x-1）²+（y-$\sqrt{2}$）²=2，
故答案为：（x-1）²+（y-$\sqrt{2}$）²=2．
（2）∵圆心C（1，$\sqrt{2}$），∴E（0，$\sqrt{2}$），
又∵|AB|=2，且E为AB中点，
∴A（0，$\sqrt{2}$-1），B（0，$\sqrt{2}$+1），
∵M、N在圆O：x²+y²=1上，
∴可设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），
∴|NA|=$\sqrt{（cosβ-0）^{2}+[sinβ-（\sqrt{2}-1{）]}^{2}}$
=$\sqrt{co{s}^{2}β+si{n}^{2}β-2（\sqrt{2}-1）sinβ+3-2\sqrt{2}}$
=$\sqrt{4-2\sqrt{2}-2（\sqrt{2}-1）sinβ}$
=$\sqrt{2\sqrt{2}（\sqrt{2}-1）-2（\sqrt{2}-1）sinβ}$
=$\sqrt{2（\sqrt{2}-1）（\sqrt{2}-sinβ）}$，
|NB|=$\sqrt{（cosβ-0）^{2}+[sinβ-（\sqrt{2}+1）]^{2}}$
=$\sqrt{co{s}^{2}β+si{n}^{2}β-2（\sqrt{2}+1）sinβ+3+2\sqrt{2}}$
=$\sqrt{4+2\sqrt{2}-2（\sqrt{2}+1）sinβ}$
=$\sqrt{2（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-sinβ）}$，
∴$\frac{|NA|}{|NB|}$=$\sqrt{\frac{2（\sqrt{2}-1）（\sqrt{2}-sinβ）}{2（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-sinβ）}}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}$=$\sqrt{2}-1$，
同理可得$\frac{|MA|}{|MB|}$=$\sqrt{2}-1$，
∴$\frac{|NA|}{|NB|}$=$\frac{|MA|}{|MB|}$，①成立，
$\frac{|NB|}{|NA|}$-$\frac{|MA|}{|MB|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$-（$\sqrt{2}-1$）=2，②正确．
$\frac{|NB|}{|NA|}$+$\frac{|MA|}{|MB|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$+（$\sqrt{2}-1$）=$2\sqrt{2}$，③正确．
故答案为：①②③．

点评 本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．