Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点F（$\sqrt{2}$，0）其短轴上的一个端点到F的距离为$\sqrt{3}$
（1）求椭圆C的；离心率及其标准方程
（2）点P（x₀，y₀）是圆G：x²+y²=4上的动点，过点P作椭圆C的切线l₁，l₂交圆G于点M，N，求证：线段MN的长为定值．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点F（$\sqrt{2}$，0）其短轴上的一个端点到F的距离为$\sqrt{3}$，求出c，a，可得b，即可求椭圆C的离心率及其标准方程；
（Ⅱ）分类讨论：l₁，l₂经过点P（x₀，y₀），又分别交其准圆于点M，N，无论两条直线中的斜率是否存在，都有l₁，l₂垂直．即可得出线段MN为准圆x²+y²=4的直径．

解答 解：（1）由题意，a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，
∴b=1，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：①当直线l₁，l₂中有一条斜率不存在时，不妨设直线l₁斜率不存在，
则l₁：x=±$\sqrt{3}$，
当l₁：x=$\sqrt{3}$时，l₁与准圆交于点（$\sqrt{3}$，1），（$\sqrt{3}$，-1），
此时l₂为y=1（或y=-1），显然直线l₁，l₂垂直；
同理可证当l₁：x=-$\sqrt{3}$时，直线l₁，l₂垂直．
②当l₁，l₂斜率存在时，设点P（x₀，y₀），其中x₀²+y₀²=4．
设经过点P（x₀，y₀）与椭圆相切的直线为y=t（x-x₀）+y₀，
代入椭圆方程得（1+3t²）x²+6t（y₀-tx₀）x+3（y₀-tx₀）²-3=0．
由△=0化简整理得（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+1-y₀²=0，
∵x₀²+y₀²=4，∴有（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+x₀²-3=0．
设l₁，l₂的斜率分别为t₁，t₂，
∵l₁，l₂与椭圆相切，
∴t₁，t₂满足上述方程（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+x₀²-3=0．，
∴t₁•t₂=-1，即l₁，l₂垂直．
综合①②知：∵l₁，l₂经过点P（x₀，y₀），又分别交其准圆于点M，N，且l₁，l₂垂直．
∴线段MN为准圆x²+y²=4的直径，|MN|=4，
∴线段MN的长为定值．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、新定义、直线与椭圆相切?△=0、直线垂直与斜率的关系、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．