Question

6．已知函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{|x-1|}-1，0＜x≤2}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x＞2}\end{array}\right.$，则函数g（x）=4f（x）-1的零点个数为（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 令g（x）=0，从而得到f（x）=$\frac{1}{4}$，从而g（x）零点的个数便等于函数f（x）图象和y=$\frac{1}{4}$的图象交点个数，首可以画出f（x）在（0，2]上的图象，而f（x）在（2，+∞）上的图象是将f（x）在（0，2]上的图象向右每次平移2个单位，纵坐标都等于平移前纵坐标的一半．这样即可判断x＞6时，f（x）的图象在y=$\frac{1}{4}$图象的下面，并画出f（x）在（0，6]上的图象，根据图象即可判断f（x）在（0，+∞）上的图象和y=$\frac{1}{4}$交点个数，根据偶函数图象的对称性即可得出f（x）在（-∞，0）上的图象和y=$\frac{1}{4}$交点个数，从而最后求出g（x）零点的个数．

解答 解：令g（x）=4f（x）-1=0，则f（x）=$\frac{1}{4}$；断g（x）零点个数，只需判断方程$f（x）=\frac{1}{4}$实数根的个数，即判断函数f（x）和函数y=$\frac{1}{4}$交点个数；
∴需画出f（x）的图象，先来画0＜x≤2时，f（x）的图象：
0＜x≤2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x-1}-1}&{0＜x≤1}\\{{2}^{x-1}-1}&{1＜x≤2}\end{array}\right.$，容易画出f（x）在（0，2]上的图象，由f（x）在（2，+∞）上的解析式知道，f（x）在（2，4]上的图象，是f（x）在（0，2]上的图象向右平移2个单位，纵坐标变为原来的$\frac{1}{2}$，这样即可画出f（x）在（0，6]上的图象，而f（x）在x＞6时的图象在直线y=$\frac{1}{4}$的下方，所以画出f（x）在（0，6]上的图象如下：

根据图象可看出，在（0，+∞）上，f（x）和y=$\frac{1}{4}$的交点有5个；
∵偶函数的图象关于y轴对称；
∴f（x）在（-∞，0）上的图象和y=$\frac{1}{4}$的图象有5个交点；
∴f（x）的图象和y=$\frac{1}{4}$的图象有10个交点；
∴g（x）零点个数为10．
故选：D．

点评 考查函数零点的概念，偶函数的定义，偶函数图象的对称性，以及方程f（x）=g（x）的解的个数和函数f（x），g（x）交点个数的关系，平移变换以及伸缩变换的概念，指数函数的单调性，含绝对值函数的处理方法：去绝对值．