Question

3．有9支水平相当（每场比赛中每个队获胜的概率均为$\frac{1}{2}$）的篮球队参加俱乐部联赛，甲队所属俱乐部对甲队的奖励规定如下：8场全胜，奖金100万，在此基础上每输一场，奖金减少10万元．
（1）求甲队所得奖金数大于30万元的概率；
（2）求甲队所得奖金数的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （1）设表示甲对获得胜利的场数，则P（ξ=k）=${C}_{9}^{k}（\frac{1}{2}）^{k}（\frac{1}{2}）^{9-k}$=${C}_{9}^{k}（\frac{1}{2}）^{9}$，设η表示甲对获得的奖金数，则η=10ξ+10，由η≥30可得，ξ≥2，利用对立事件的概率公式可求；
（2）由（1）可得，η=10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，结合（1）可求其分布列，然后有ξ～（9，$\frac{1}{2}$），可求Eξ=np，而Eη=E（10ξ+10）=10Eξ+10，代入可求．

解答 解：（1）设表示甲对获得胜利的场数，则
P（ξ=k）=${C}_{9}^{k}（\frac{1}{2}）^{k}（\frac{1}{2}）^{9-k}$=${C}_{9}^{k}（\frac{1}{2}）^{9}$（k=0，1，2…9），
设η表示甲对获得的奖金数，则η=10ξ+10，由η≥30可得，ξ≥2，
∵P（ξ≥2）=1-P（ξ＜2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）=1-${C}_{9}^{0}（\frac{1}{2}）^{9}{-C}_{9}^{1}（\frac{1}{2}）^{9}$=1-$\frac{5}{216}$=$\frac{211}{216}$，
（2）由（1）可得，η=10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，
甲对所得奖金的分布列为：P（η=10）=p（ξ=0）=${C}_{9}^{0}（\frac{1}{2}）^{9}$，
P（η=20）=P（ξ=1）=${C}_{9}^{1}（\frac{1}{2}）^{9}$，
…
P（η=100）=P（ξ=9）=${C}_{9}^{9}（\frac{1}{2}）^{9}$，
∵ξ～（9，$\frac{1}{2}$），
∴Eξ=np=9×$\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$，
∴Eη=E（10ξ+10）=10Eξ+10=55．

点评 本题主要考查了离散型随机变量的分布列及期望值的求解，选择二项分布的期望公式可以简化基本运算