Question

19．如图，已知A₁，A₂，B₁，B₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的四个顶点，△A₁B₁B₂的外接圆为圆M，椭圆C过点（-1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
（1）求椭圆C及圆M的方程；
（2）若点D是圆M劣弧$\widehat{{A}_{1}{B}_{2}}$上一动点（点D异于端点A₁，B₂），直线B₁D分别交线段A₁B₂，椭圆C于点E，G，直线B₂G与A₁B₁交于点F．
（i）求$\frac{G{B}_{1}}{E{B}_{1}}$的最大值；
（ii）E，F两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知条件椭圆C过点（-1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），代入，可得a，b，即可求出椭圆C的方程，由此能求出圆M的方程．
（2）（i）设直线B₁D的方程为y=kx-1，与直线A₁B₂的方程y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1联立，解得点E，联立y=kx-1与椭圆，消去y，解得点，由此能求出$\frac{G{B}_{1}}{E{B}_{1}}$的最大值．
（ii）直线B₂G的方程为y=-$\frac{1}{3k}$x+1，与直线A₁B₁的方程y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1联立，解得点F，由此能求出E、F两点的横坐标之和为定值．

解答 解：（1）因为椭圆C过点（-1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{6}{9}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{\frac{9}{4}}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{4}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
∴a=$\sqrt{3}$，b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
圆心M（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），半径A₁M=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴圆M的方程为（x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²+y²=$\frac{4}{3}$．…（4分）
（2）（i）设直线B₁D的方程为y=kx-1，k＜-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
与直线A₁B₂的方程y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1联立，解得点E（$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}k-1}$，$\frac{\sqrt{3}k+1}{\sqrt{3}k-1}$），…（6分）
联立y=kx-1与椭圆，消去y并整理得，（1+3k²）x²-6kx=0，
解得点G（$\frac{6k}{3{k}^{2}+1}$，$\frac{3{k}^{2}-1}{3{k}^{2}+1}$），…（9分）
$\frac{G{B}_{1}}{E{B}_{1}}$=$\frac{|{x}_{G}|}{|{x}_{E}|}$=1-$\frac{\sqrt{3}k+1}{3{k}^{2}+1}$
=1+$\frac{1}{-（\sqrt{3}k+1）+\frac{2}{-（\sqrt{3}k+1）}+2}$
≤1+$\frac{1}{2\sqrt{2}+2}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，当且仅当k=-$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{3}$时，取“=”，
∴$\frac{G{B}_{1}}{E{B}_{1}}$的最大值为$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．…（12分）
（ii）直线B₂G的方程为y=-$\frac{1}{3k}$x+1，
与直线A₁B₁的方程y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1联立，
解得点F（$\frac{-6k}{\sqrt{3}k-1}$，$\frac{\sqrt{3}k+1}{\sqrt{3}k-1}$），…（14分）
∴E、F两点的横坐标之和为$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}k-1}+\frac{-6k}{\sqrt{3}k-1}$=-2$\sqrt{3}$．
故E、F两点的横坐标之和为定值，该定值为-2$\sqrt{3}$．…（16）

点评 本题考查椭圆方程及圆的方程的求法，考查两条线段比值的最大值的求法，考查两点横坐标之各为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．