Question

2．已知各项都是正数的数列{a_n}满足a₁=$\frac{3}{2}$，a_n+1=$\frac{1}{2}{a}_{n}$（4-a_n），则数列{a_n}的通项公式是a_n=2-${2}^{1-{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 依题意，可得$\frac{{（{a}_{n}-2）}^{2}}{2}$=2-a_n+1≥0，进一步分析可得a_n＜2，再对$\frac{{（{a}_{n}-2）}^{2}}{2}$=2-a_n+1两边取对数，利用等比数列的通项公式与对数的运算性质即可求得答案．

解答 解：因为a_n+1=$\frac{1}{2}{a}_{n}$（4-a_n）=-$\frac{（{a}_{n}-2）^{2}}{2}$+2，
所以$\frac{{（{a}_{n}-2）}^{2}}{2}$=2-a_n+1≥0，即a_n+1≤2，
若a_n+1=2，即$\frac{1}{2}{a}_{n}$（4-a_n）=2，故a_n=2，这与a₁=$\frac{3}{2}$矛盾，
所以，a_n+1＜2，即a_n＜2，
所以对$\frac{{（{a}_{n}-2）}^{2}}{2}$=2-a_n+1两边取对数，得lg（2-a_n+1）=2lg（2-a_n）-lg2，
变形得：lg（2-a_n+1）-lg2=2[lg（2-a_n）-lg2]，
∴lg（2-a_n）-lg2=2^n-1•（-2lg2）=-2ⁿ•lg2=lg${2}^{-{2}^{n}}$，
解得：a_n=2-${2}^{1-{2}^{n}}$．
故答案为：a_n=2-${2}^{1-{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列递推关系式的应用，分析得到a_n＜2，且对$\frac{{（{a}_{n}-2）}^{2}}{2}$=2-a_n+1两边取对数是关键，也是难点，考查等价转化思想与推理运算能力，属于难题．