Question

7．已知函数f（x）=e^-x+a，g（x）=|lnx|．若x₁，x₂满足f（x）=g（x），则x₁•x₂的取值范围是（$\frac{1}{e}$，1）．

Answer 1

分析 由题意，可设x₁＞1，0＜x₂＜1，则${e}^{-{x}_{1}}$+a=|lnx₁|，${e}^{-{x}_{2}}$+a=|lnx₂|，两式相减，结合指数函数和对数函数的单调性，即可得到所求范围．

解答 解：由题意，可设x₁＞1，0＜x₂＜1，
则${e}^{-{x}_{1}}$+a=|lnx₁|，${e}^{-{x}_{2}}$+a=|lnx₂|，
两式相减可得${e}^{-{x}_{1}}$-${e}^{-{x}_{2}}$=|lnx₁|-|lnx₂|
=lnx₁+lnx₂=ln（x₁x₂），
由x₁＞1，0＜x₂＜1，则${e}^{-{x}_{1}}$∈（0，$\frac{1}{e}$），
${e}^{-{x}_{2}}$∈（$\frac{1}{e}$，1），则-${e}^{-{x}_{2}}$∈（-1，-$\frac{1}{e}$），
即有${e}^{-{x}_{1}}$-${e}^{-{x}_{2}}$∈（-1，0），
则ln（x₁x₂）∈（-1，0），
即为x₁x₂∈（$\frac{1}{e}$，1）．
故答案为：（$\frac{1}{e}$，1）．

点评 本题考查函数的性质和运用，主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．