Question

19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足：a²=（b-c）²+（2-$\sqrt{3}$）bc，又sinAsinB=$\frac{1+cosC}{2}$．
（1）求角A的大小；
（2）若a=4，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）由条件利用余弦定理求得cosA的值，可得A的值．
（2）根据sinAsinB=$\frac{1+cosC}{2}$，利用两角和差的余弦公式花简求得cos（A-B）=1，可得A=B=$\frac{π}{6}$，可得C的值，从而求得△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$ab•sinC 的值．

解答 解：（1）△ABC中，∵a²=（b-c）•2²+（2-$\sqrt{3}$）bc，∴b²+c²-a²=$\sqrt{3}$bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴A=$\frac{π}{6}$．
（2）∵sinAsinB=$\frac{1+cosC}{2}$，∴2sinAsinB=1+cosC=1-cos（A+B）=1-（cosAcosB-sinAsinB），
化简可得cos（A-B）=1，∴A-B=0，即A=B=$\frac{π}{6}$，C=$\frac{2π}{3}$．
再根据 a=4，可得△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$ab•sinC=4$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和差的余弦公式，根据三角函数的值求角，属于基础题．