Question

8．设点C（x，y）是平面直角坐标系的动点，M（2，0），以C为圆心，CM为半径的圆交y轴于A，B两点，弦AB的长|AB|=4．
（Ⅰ）求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）过点F（1，0）作互相垂直的两条直线l₁，l₂，分别交曲线C于点P、Q和点K、L．设线段PQ，KL的中点分别为R、T，求证：直线RT恒过一个定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设动点C的坐标为（x，y），根据弦AB的长|AB|=4，建立方程，化简可得点C的轨迹C的方程；
（2）设P、Q两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则点R的坐标为$（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}，\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}）$，可设直线l₁的方程为y=k（x-1）（k≠0），与抛物线方程联立，利用韦达定理可求点R的坐标为（1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$）．同理可得点T的坐标为（1+2k²，-2k），进而可确定直线RT的方程，即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）设动点C的坐标为（x，y），由题意得，${（x-2）^2}+{y^2}-{x^2}={（\frac{|AB|}{2}）^2}=4$，
化简得y²=4x，所以抛物线的标准方程为y²=4x．----------------------------（6分）
（Ⅱ）设P、Q两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则点R的坐标为$（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}，\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}）$．
显然直线l₁斜率存在且不为0，由题意可设直线l₁的方程为y=k（x-1）（k≠0），
代入椭圆方程得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
△=（2k²+4）²-4k⁴=16k²+16＞0，x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=$\frac{4}{k}$．
所以点R的坐标为（1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$）． 
由题知，直线l₂的斜率为-$\frac{1}{k}$，同理可得点T的坐标为（1+2k²，-2k）．-----------（8分）
当k≠±1时，有$1+\frac{2}{k^2}≠1+2{k^2}$，此时直线RT的斜率${k_{RT}}=\frac{{\frac{2}{k}+2k}}{{1+\frac{2}{k^2}-1-2{k^2}}}=\frac{k}{{1-{k^2}}}$． 
所以，直线RT的方程为y+2k=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-1-2k²），
整理得yk²+（x-3）k-y=0，
于是，直线RT恒过定点E（3，0）；-----------------------------------------（10分）
当k=±1时，直线RT的方程为x=3，也过E（3，0）． 
综上所述，直线RT恒过定点E（3，0）-------------------------------------（12分）

点评 本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用，具有一定的难度，解题的关键是直线与抛物线的联立，确定直线RT的方程．