Question

3．设y=f″（x）是y=f′（x）的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）都有对称中心（x₀，f（x₀）），其中x₀满足f″（x₀）=0．已知f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-$\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{12}$，则$f（\frac{1}{2015}）+f（\frac{2}{2015}）+f（\frac{3}{2015}）+…+f（\frac{2014}{2015}）$=（　　）

• A． 2012
• B． 2013
• C． 2014
• D． 2015

Answer 1

分析 令f^″（x）=0，解得函数f（x）的对称中心为M$（\frac{1}{2}，1）$．设P，Q是函数f（x）的图象上关于M准线对称的两点，则f（x）+f（1-x）=2，即可得出．

解答 解：f′（x）=x²-x+3，f^″（x）=2x-1，令f^″（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$，$f（\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}）^{3}$-$\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}）^{2}$+3×$\frac{1}{2}$-$\frac{5}{12}$=1，
∴函数f（x）的对称中心为M$（\frac{1}{2}，1）$．
设P，Q是函数f（x）的图象上关于M中心对称的两点，则f（x）+f（1-x）=2，
∴$f（\frac{1}{2015}）+f（\frac{2}{2015}）+f（\frac{3}{2015}）+…+f（\frac{2014}{2015}）$=$\frac{1}{2}$$[（f（\frac{1}{2015}）+f（\frac{2014}{2015}））$+$（f（\frac{2}{2015}）+f（\frac{2013}{2015}））$+…+$（f（\frac{2014}{2015}）+f（\frac{1}{2015}））]$
=$\frac{1}{2}×（2×2014）$
=2014．
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究三次函数的中心对称性、函数求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．