Question

13．点P是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）上一点，F是右焦点，且△OPF是∠POF=120°的等腰三角形（O为坐标原点），则双曲线的离心率是$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 由题意可得P在双曲线的左支上，可设P在第二象限，且|OP|=|OF|=c，即有P（-ccos60°，csin60°），代入双曲线方程，由离心率公式，解方程即可得到结论．

解答 解：由题意可得P在双曲线的左支上，
可设P在第二象限，且|OP|=|OF|=c，
即有P（-ccos60°，csin60°），
即为（-$\frac{1}{2}$c，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），
代入双曲线方程，可得
$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{4{b}^{2}}$=1，
即为$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{4（{c}^{2}-{a}^{2}）}$=1，
由e=$\frac{c}{a}$，可得$\frac{1}{4}$e²-$\frac{3{e}^{2}}{4（{e}^{2}-1）}$=1，
化简可得e⁴-8e²+4=0，
解得e²=4±2$\sqrt{3}$，
由e＞1，可得e=$\sqrt{3}$+1．
故答案为：$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要方程的运用和离心率的求法，正确判断P的位置和求出P的坐标是解题的关键．