Question

17．实数x，y满足$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+3y-3≥0}\\{3x+y-9≤0}\end{array}}\right.$，则z=ax+y的最大值为2a+3，则a的取值范围是（　　）

• A． [-3，1]
• B． [-1，3]
• C． [3，+∞）
• D． （-∞，-1]

Answer 1

分析 本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，进一步分目标函数z=ax+y的最大值为a+3，构造一个关于a的不等式，解不等式即可求出a的范围．

解答 解：由变量x，y满足约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+3y-3≥0}\\{3x+y-9≤0}\end{array}}\right.$，
作出可行域：

∵z=ax+y，A（0，1），∴z_A=1；
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{3x+y-9=0}\end{array}\right.$，得B（2，3），∴z_B=2a+3；
C（3，0），∴z_C=3a．
∵线性目标函数z=ax+y的最大值为2a+3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+3≥3a}\\{2a+3≥1}\end{array}\right.$，解得-1≤a≤3．
故选：B．

点评 在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．