Question

16．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象经过原点，且$1+\frac{{\sqrt{3}}}{3}$与$1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$是f′（x）=0的两个根．
（Ⅰ） 求a、b、c的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=mx有三个互不相同的实根0，x₁，x₂，其中x₁＜x₂，且对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＜m（x-1）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象经过原点，则c=0求导数，利用$1+\frac{{\sqrt{3}}}{3}$与$1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$是f′（x）=0的两个根，结合韦达定理，求a、b、c的值；
（Ⅱ）利用x₁、x₂是方程x²-3x+2-m=0的两相异的实根．可得△=9-4（2-m）＞0，即$m＞-\frac{1}{4}$，再确定函数f（x）-mx在x∈[x₁，x₂]的最大值为0，即可求出实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象经过原点，则c=0…（1分）
所以f（x）=x³+ax²+bxf'（x）=3x²+2ax+b，…（2分）
$1+\frac{{\sqrt{3}}}{3}$与$1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$是f'（x）=0的两个根
则$（1+\frac{{\sqrt{3}}}{3}）+（1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）=-\frac{2a}{3}$，得a=-3…（3分）
$（1+\frac{{\sqrt{3}}}{3}）×（1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）=\frac{b}{3}$，得b=2…（4分）
（II）由（Ⅰ）得f（x）=x³-3x²+2x．
依题意，方程x（x²-3x+2-m）=0有三个互不相同的实根0、x₁、x₂，…（5分）
故x₁、x₂是方程x²-3x+2-m=0的两相异的实根．
所以△=9-4（2-m）＞0，即$m＞-\frac{1}{4}$．…（6分）
又对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＜m（x-1）成立．
特别地，取x=x₁时，f（x₁）-mx₁＜-m成立，得m＜0．…（7分）
由韦达定理，可得x₁+x₂=3＞0，x₁x₂=2-m＞0，故$0＜{x_1}＜x_2^{\;}$…（8分）
对任意的x∈[x₁，x₂]，有x-x₂≤0，x-x₁≥0，x＞0．…（9分）
则f（x）-mx=x（x-x₁）（x-x₂）≤0．
又f（x₁）-mx₁=0，…（10分）
所以函数f（x）-mx在x∈[x₁，x₂]的最大值为0．
于是当m＜0时，对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＜m（x-1）恒成立．…（11分）
综上，m的取值范围是$（{-\frac{1}{4}，0}）$．…（12分）

点评 本题主要考查函数，导数，不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能立，以及函数与方程和特殊与一般的思想．