Question

1．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）的单调增区间为$[kπ-\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}]$（k∈Z），则函数f（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$的取值范围是（　　）

• A． $[-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1]$
• B． $[-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$
• C． $[-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$
• D． $[-\frac{1}{2}，1]$

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的周期性、单调性求出ω、φ的值，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的取值范围．

解答 解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）的单调增区间为$[kπ-\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}]$（k∈Z），可得函数的周期为$\frac{2π}{ω}$=2（$\frac{5π}{12}$+$\frac{π}{12}$），求得ω=2．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+φ≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得增区间为[kπ-$\frac{π}{4}$-$\frac{φ}{2}$，kπ+$\frac{π}{4}$-$\frac{φ}{2}$]，k∈z．
∴-$\frac{π}{12}$=-$\frac{π}{4}$-$\frac{φ}{2}$，且$\frac{5π}{12}$=$\frac{π}{4}$-$\frac{φ}{2}$，求得φ=-$\frac{π}{3}$，故函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
在区间$[0，\frac{π}{2}]$上，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
故选：A．

点评 本题主要正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于基础题．