Question

10．如图，在多面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，BA⊥AD，FE∥AD∥BC，M为CE的中点，EF=FA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1．
（1）求证：平面AMD⊥平面CDE；
（2）求二面角A-CD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD中点G，连结CG、GE、GM，通过EC⊥AG、EC⊥MG，以及线面垂直、面面垂直的判定定理即得结论；
（2）取CD中点H，连结GH，则∠EHG即为二面角A-CD-E的平面角，在Rt△EGH中计算即可．

解答 （1）证明：取AD中点G，连结CG、GE、GM，
由题易知：EC⊥AG，△CEG为等腰直角三角形，
∵M为CE的中点，∴EC⊥MG，
∴EC⊥平面AGM，
∴平面AMD⊥平面CDE；
（2）解：∵EF=FA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，
∴EC=CD=DE=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
取CD中点H，连结GH，
则∠EHG即为二面角A-CD-E的平面角，
∵GH=$\frac{CG•DG}{CD}$=$\frac{1×1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，EH=CE•$sin\frac{π}{3}$=$\sqrt{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴在Rt△EGH中，cos∠EHG=$\frac{GH}{EH}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即二面角A-CD-E的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查空间中线面平行的判定，考查二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．