Question

20．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，且点E为棱AB上任意一个动点．当点B₁到平面A₁EC的距离为$\frac{{\sqrt{21}}}{6}$时，点E所有可能的位置有几个2．

Answer 1

分析 建立如图所示空间直角坐标系，设出E点坐标，利用B₁到平面A₁EC的距离为$\frac{{\sqrt{21}}}{6}$求得a的值得答案．

解答 解：建立如图所示的空间直角坐标系，

设E（a，0，0），C（1，1，0），A₁（0，0，1），B₁（1，0，1）．
则$\overrightarrow{{A}_{1}C}=（1，1，-1）$，$\overrightarrow{{A}_{1}E}=（a，0，-1）$，
设平面A₁EC的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x+y-z=0}\\{ax-z=0}\end{array}\right.$，取z=a，则x=1，y=a-1．
∴$\overrightarrow{n}=（1，a-1，a）$．
$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=（1，0，0）$，
由$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}=\frac{1}{\sqrt{1+{a}^{2}+（a-1）^{2}}}=\frac{\sqrt{21}}{6}$，解得：$a=\frac{7±\sqrt{21}}{14}$．
∴E所有可能的位置有2个．
故答案为：2．

点评 本题考查多面体中的点线面间的距离，考查了空间向量在解立体几何问题中的应用，是中档题．