Question

13．如图AB是圆O的一条弦，过点A作圆的切线AD，作BD⊥AD，与该圆交于点E，若AD=2$\sqrt{3}$，DE=2．
（1）求圆O的半径；
（2）若点H为AB的中点，求证O，H，E三点共线．

Answer 1

分析 （1）取BD中点为F，连结OF，求出BD，可得BF，利用勾股定理求圆O的半径；
（2）证明四边形OADE为平行四边形，利用H为AB的中点，即可证明O，H，D三点共线．

解答 （1）解：取BD中点为F，连结OF，
由题意知，OF∥AD，OF=AD，
∵AD为圆O的切线，BD为割线，
∴AD²=DE•DB，
由AD=2$\sqrt{3}$，DE=2，
∴BD=6，
∴BE=4，BF=2，
在Rt△OBF中，由勾股定理得，$r=OB=\sqrt{O{F^2}+B{F^2}}=4$．（5分
（2）证明：由（1）知，OA∥BE，OA=BE，
∴四边形OAEB为平行四边形，
又∵H为AB的中点，
∴OE与AB交于点H，
∴O，H，E三点共线．（10分）

点评 本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，切割线定理等内容．本小题重点考查考生对平面几何推理能力．