Question

16．已知a∈N，b∈N，且$\frac{1}{a}$+$\frac{10}{b}$=1，则当a=11，b=11时，a+b最小．

Answer 1

分析 由已知可得a=$\frac{b}{b-10}$=$\frac{b-10+10}{b-10}$=1+$\frac{10}{b-10}$，结合已知可求出b，a，代入可求a+b的最小值

解答 解：∵a∈N，b∈N，且$\frac{1}{a}$+$\frac{10}{b}$=1，
∴a=$\frac{b}{b-10}$=$\frac{b-10+10}{b-10}$=1+$\frac{10}{b-10}$，
∴b-10是10的约数且a＞0，
∴b＞10，
∴b-10=1，2，5，10，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=11}\\{a=11}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=12}\\{b=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=15}\\{a=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=20}\\{a=2}\end{array}\right.$，
经检验当a=b=11时，a+b最小，
故答案为：a=11，b=11．

点评 本题考查了不等式的应用，解题中关键是要分析b，a的范围，属于中档题