Question

13．已知关于x的不等式x²-ax-4＞0在x∈[-2，1]时无解，则实数a的取值范围是[-3，0]．

Answer 1

分析 【解法一】讨论x=0、-2≤x＜0以及0＜x≤1时，不等式不成立对应a的取值范围，求出它们的公共部分即可．
【解法二】根据题意，设f（x）=x²-ax-4，对应不等式在x∈[-2，1]时无解时满足$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）≤0}\\{f（1）≤0}\end{array}\right.$，求出不等式组a的解集即可．

解答 解：【解法一】根据题意，得；
当x=0时，不等式为-4＞0不成立，此时a∈R；
当-2≤x＜0时，不等式化为ax＜x²-4，
即a＞x-$\frac{4}{x}$，
设f（x）=x-$\frac{4}{x}$，（-2≤x＜0）；
∴f′（x）=1+$\frac{4}{{x}^{2}}$＞0，
f（x）是单调增函数，
f（x）_min=f（-2）=0，
不等式不成立时应满足a≤0；
当0＜x≤1时，不等式化为ax＜x²-4，
a＜x-$\frac{4}{x}$，
设g（x）=x-$\frac{4}{x}$，（0＜x≤1），
∴g′（x）=1+$\frac{4}{{x}^{2}}$＞0，
g（x）是单调增函数，g（x）_max=g（1）=-3，
不等式不成立时应满足a≥0；
综上，实数a的取值范围是[-3，0]．
【解法二】根据题意，设f（x）=x²-ax-4，对应不等式在x∈[-2，1]时无解时，
应满足$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）≤0}\\{f（1）≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{4+2a-4≤0}\\{1-a-4≤0}\end{array}\right.$，
解得-3≤a≤0；
∴a的取值范围是[-3，0]．
故答案为：[-3，0]．

点评 本题考查了不等式恒成立的问题，也考查了二次函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．