Question

11．已知函数f（x）=ax-1+lnx，其中a为常数．
（1）当a∈（-∞，-$\frac{1}{e}$）时，若f（x）在区间（0，e）上的最大值为-4，求a的值；
（2）当a=-$\frac{1}{e}$时，若函数g（x）=|f（x）|-$\frac{lnx}{x}$-$\frac{b}{2}$存在零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a∈（-∞，-$\frac{1}{e}$）时，函数在（0，-$\frac{1}{a}$）上单调递增，在（-$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递减，利用f（x）在区间（0，e）上的最大值为-4，即可求a的值；
（2）由题意，|f（x）|=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{b}{2}$有实数根，求出|f（x）|≥1，令h（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{b}{2}$，求出h（x）_max=h（e）=$\frac{1}{e}$+$\frac{b}{2}$，可得h（x）_max=h（e）=$\frac{1}{e}$+$\frac{b}{2}$≥1，即可求实数b的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=a+$\frac{1}{x}$=0，∴x=-$\frac{1}{a}$．
∵a∈（-∞，-$\frac{1}{e}$），
∴函数在（0，-$\frac{1}{a}$）上单调递增，在（-$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递减，
∴x=-$\frac{1}{a}$时，函数取得最大值，
∴-1-1+ln（-$\frac{1}{a}$）=-4，
∴a=-e²．
（2）由题意，|f（x）|=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{b}{2}$有实数根．
当a=-$\frac{1}{e}$时，f（x）=-$\frac{x}{e}$-1+lnx，f′（x）=-$\frac{x-e}{ex}$，
0＜x＜e时，f′（x）＞0，x＞e时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调增区间为（0，e），减区间为（e，+∞），
∴f（x）_max=f（e）=-1，
∴|f（x）|≥1，
令h（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{b}{2}$，则h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
0＜x＜e时，h′（x）＞0，x＞e时，h′（x）＜0，
∴h（x）的单调增区间为（0，e），减区间为（e，+∞），
∴h（x）_max=h（e）=$\frac{1}{e}$+$\frac{b}{2}$，
∵|f（x）|=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{b}{2}$有实数根．
∴h（x）_max=h（e）=$\frac{1}{e}$+$\frac{b}{2}$≥1，
∴b≥2-$\frac{2}{e}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力．正确求导是关键．