Question

12．设a＞0，且a≠1，f（x）=x（$\frac{1}{{a}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）证明：f（x）是偶函数．

Answer 1

分析 （1）求使解析式有意义的x范围；
（2）从函数奇偶性的定义判断f（-x）与f（x）的关系．

解答 解：（1）要使函数有意义，只要a^x≠1，即x≠0，所以函数的定义域为：{x|x∈R，x≠0}；
（2）由（1）可知，函数定义域关于原点对称；
由已知，f（-x）=-x（$\frac{1}{{a}^{-x}-1}$+$\frac{1}{2}$）=-x（$\frac{{a}^{x}}{1-{a}^{x}}$$+\frac{1}{2}$）=x（$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}-1}-\frac{1}{2}$）=x$\frac{2{a}^{x}-{a}^{x}+1}{2（{a}^{x}-1）}$=x$\frac{{a}^{x}+1}{2（{a}^{x}-1）}$=x$\frac{{a}^{x}-1+2}{2（{a}^{x}-1）}$=x（$\frac{1}{{a}^{x}-1}+\frac{1}{2}$）=f（x）．
所以函数为偶函数．

点评 本题考查了求函数定义域以及判定函数的奇偶性．属于基础题．