Question

14．已知等比数列{a_n}的公比q＞1，前n项和为S_n，S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4成等差数列，数列{bn}满足关系式b_n（3n-5）=b_n-1（3n-2）其中n≥2，n∈N⁺，且b₁=1．
（1）求数列{a_n}及{b_n}的通项公式；
（2）设A={a₁，a₂，…a₁₀}，B={b₁，b₂，…b₅₀}，C=A∪B，求集合C中所有元素之和．

Answer 1

分析 （1）由条件利用等差数列、等比数列的定义和性质求出首项和公差、公比，从而求得数列{a_n}及{b_n}的通项公式．
（2）哟条件利用前n项和公式求得等比数列{a_n}的前10项和S₁₀、等差数列{b_n}前50项和 T₅₀ 的值，再求得A与B的公共元素的和，从而求得集合C中所有元素之和．

解答 解：（1）因为S₃=7，∴a₁+a₂ +a₃=7．
因为a₁+3，3a₂，a₃+4成等差数列，所以，a₁+3，+a₃+4=6a₂ ，求得a₂ =a₁•q=2 ①．
又由a₁+a₂ +a₃=7得a₁ +a₁•q²=5 ②，
由①②可得 2q²-5q+2=0，解得q=2，或q=$\frac{1}{2}$（舍去），∴a₁=1，a_n =2^n-1．
另由于{bn}满足关系式b_n（3n-5）=b_n-1（3n-2），即 $\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=$\frac{3n-2}{3n-5}$．
所以由累乘法得 $\frac{{b}_{n}}{{b}_{1}}$=3n-2，而b₁=1，所以 b_n=3n-2 （n≥2），当n=1时也满足，
故b_n=3n-2．
（2）等比数列{a_n}的前n项和为S_n，则 S₁₀=$\frac{1{-2}^{10}}{1-2}$=1023．
等差数列{b_n}前n项和为T_n，则 T₅₀=$\frac{50×（1+148）}{2}$=3725，
因为A与B的公共元素有1，4，16，64，其和为85，
所以集合C中所有元素之和为1023+3725-85=4663．

点评 本题主要考查等差数列及等比数列的定义、性质、通项公式，前n项和公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．