Question

9．钝角△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，A=$\frac{π}{4}$，sin²B+cos²2C=1．
（1）求角B，C；
（2）若a²+c²=b+$\sqrt{3}$ac+2，求a．

Answer 1

分析 （1）由题意可得C=$\frac{3π}{4}$-B，结合sin²B+cos²2C=1可得cos2B的方程，解方程可得B，可得C；
（2）由a²+c²=b+$\sqrt{3}$ac+2和余弦定理可得b的方程b²-b-2=0，解方程可得b=2，再由正弦定理可得a值．

解答 解：（1）由题意可得B+C=π-A=$\frac{3π}{4}$，∴C=$\frac{3π}{4}$-B，
∵sin²B+cos²2C=1，∴$\frac{1-cos2B}{2}$+$\frac{1+cos4C}{2}$=1，
∴cos4C=cos2B，即cos（3π-4B）=cos2B，
∴-cos4B=cos2B，∴2cos²2B+2cos2B-1=0，
解得cos2B=-1，或cos2B=$\frac{1}{2}$，
当cos2B=-1时，2B=π可得B=$\frac{π}{2}$，这与△ABC为钝角三角形矛盾；
当cos2B=$\frac{1}{2}$时，2B=$\frac{π}{3}$可得B=$\frac{π}{6}$，符合题意，此时C=$\frac{7π}{12}$；
（2）∵a²+c²=b+$\sqrt{3}$ac+2，由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，
∴a²+c²=b²+2accosB=b²+$\sqrt{3}$ac，∴b²+$\sqrt{3}$ac=b+$\sqrt{3}$ac+2，
整理可得b²-b-2=0，解得b=2，
由正弦定理可得a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{2}$

点评 本题考查解三角形，涉及正余弦定理和二倍角公式，属中档题．