Question

20．已知函数f（x）=e^-xsinx（其中e=2.718…）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在[-π，π]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数的导数，令f′（x）=0，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）先求出函数在[-π，π]上的单调区间，从而求出函数的最值．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=-{e^{-x}}sinx+{e^{-x}}cosx=\frac{{\sqrt{2}cos（x+\frac{π}{4}）}}{e^x}$．
令f′（x）=0，解得：$x=kπ+\frac{π}{4}，k∈Z$．
因为当$x∈（2kπ-\frac{3π}{4}，2kπ+\frac{π}{4}），k∈Z$时，f′（x）＞0；
当$x∈（2kπ+\frac{π}{4}，2kπ+\frac{5π}{4}），k∈Z$时，f′（x）＜0，
所以f（x）的单调递增区间是$（2kπ-\frac{3π}{4}，2kπ+\frac{π}{4}），k∈Z$，
单调递减区间是$（2kπ+\frac{π}{4}，2kπ+\frac{5π}{4}），k∈Z$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在$[-π，-\frac{3π}{4}）$上单调递减，在$（-\frac{3π}{4}，\frac{π}{4}）$上单调递增，在$（\frac{π}{4}，π]$上单调递减，
而$f（-π）=0，\;\;f（\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}{e^{-\frac{π}{4}}}＞0$，$f（π）=0，\;\;f（-\frac{3π}{4}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}{e^{\frac{3π}{4}}}＜0$
所以f（x）在[-π，π]上的最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}{e^{-\frac{π}{4}}}$，最小值为$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}{e^{\frac{3π}{4}}}$．

点评 本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，考察导数的应用，本题是一道中档题．