Question

8．已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2-x）=0；②f（x-2）=f（-x）；③当x∈[-1，1]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{x}^{2}}，x∈[-1，0]}\\{cos（\frac{π}{2}x），x∈（0，1]}\end{array}\right.$；则函数y=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^|x|在区间[-3，3]上的零点个数为（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 由①可得f（x）的图象关于点（1，0）对称，由②可得f（x）的图象关于直线x=-1对称，作出f（x）在[-1，1]的图象，再由对称性，作出f（x）在[-3，3]的图象，同时作出y=（$\frac{1}{2}$）^|x|在[-3，3]的图象，通过图象观察即可得到零点个数．

解答 解：由①f（x）+f（2-x）=0
可得f（x）的图象关于点（1，0）对称，
由②f（x-2）=f（-x）
可得f（x）的图象关于直线x=-1对称，
作出f（x）在[-1，1]的图象，
再由对称性，作出f（x）在[-3，3]的图象，
作出函数y=（$\frac{1}{2}$）^|x|在[-3，3]的图象，
由图象观察可得它们故有5个交点，
即有函数y=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^|x|在区间[-3，3]上的零点个数为5．
故选A．

点评 本题考查函数的零点的个数判断，主要考查图象法的运用，同时考查函数的对称性，属于中档题．