Question

8．如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=$\sqrt{7}$，则cos∠CAD=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$；又若cos∠BAD=-$\frac{\sqrt{7}}{14}$，sin∠CBA=$\frac{\sqrt{21}}{6}$，则BC=3．

Answer 1

分析 由题意在△ADC中应用余弦定理易得cos∠CAD，进而由同角三角函数基本关系可得sin∠CAD和sin∠BAD，再由和差角公式可得sin∠CAB，在△ABC中由正弦定理可得BC=$\frac{AC•sin∠CAB}{sin∠CBA}$，代值计算可得．

解答 解：由题意在△ADC中，AD=1，CD=2，AC=$\sqrt{7}$，
∴由余弦定理可得cos∠CAD=$\frac{A{D}^{2}+A{C}^{2}-C{D}^{2}}{2×AD×AC}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴sin∠CAD=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠CAD}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
同理由cos∠BAD=-$\frac{\sqrt{7}}{14}$可得sin∠BAD=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$，
∴sin∠CAB=sin（∠BAD-∠CAD）
=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD
=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$×$\frac{2\sqrt{7}}{7}$+$\frac{\sqrt{7}}{14}$×$\frac{\sqrt{21}}{7}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
在△ABC中由正弦定理可得BC=$\frac{AC•sin∠CAB}{sin∠CBA}$=$\frac{\sqrt{7}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{21}}{6}}$=3
故答案为：$\frac{2\sqrt{7}}{7}$；3

点评 本题考查三角形中的几何运算，涉及正余弦定理的综合应用，属中档题．