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    14．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是$\frac{1}{2}$．从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是$\frac{1}{3}$，出现绿灯的概率是$\frac{2}{3}$；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是$\frac{3}{5}$，出现绿灯的概率是$\frac{2}{5}$．问：
    （Ⅰ）第二次闭合后出现红灯的概率是多少？
    （Ⅱ）开关闭合10次时，出现绿灯的概率是多少？

    分析 （Ⅰ）如果第一次出现红灯，则接着又出现红灯的概率是 $\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$，如果第一次出现绿灯，则接着出现红灯的概率为 $\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$，再根据加法原理求得第二次闭合时出现红灯的概率．
    （Ⅱ）设第n次闭合时，出现红灯的概率是pn，则pn=$\frac{1}{3}$pn-1+$\frac{3}{5}$（1-pn-1）=-$\frac{4}{15}$pn-1+$\frac{3}{5}$，设pn+k=-$\frac{4}{15}$（pn-1+k），求得 k=-$\frac{9}{19}$，再根据等比数列的通项公式求出pn=$\frac{9}{19}$+$\frac{1}{38}$•${（-\frac{4}{15}）}^{n-1}$，从而求得第n次闭合时，出现绿灯的概率是1-pn的解析式，金额求得开关闭合10次时，出现绿灯的概率．

    解答 解：（Ⅰ）如果第一次出现红灯，则接着又出现红灯的概率是 $\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$，
    如果第一次出现绿灯，则接着出现红灯的概率为 $\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$．
    ∴第二次出现红灯的概率为 $\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{7}{15}$，
    （Ⅱ）设第n次闭合时，出现红灯的概率是pn，则pn=$\frac{1}{3}$pn-1+$\frac{3}{5}$（1-pn-1）=-$\frac{4}{15}$pn-1+$\frac{3}{5}$，
    设pn+k=-$\frac{4}{15}$（pn-1+k），即pn=-$\frac{4}{15}$•pn-1-$\frac{19k}{15}$，∴-$\frac{19k}{15}$=$\frac{3}{5}$，求得 k=-$\frac{9}{19}$，
    故数列{pn-$\frac{9}{19}$}为等比数列，且公比为-$\frac{4}{15}$．
    再根据首项为p1-$\frac{9}{19}$=$\frac{1}{38}$，∴pn-$\frac{9}{19}$=$\frac{1}{38}$•${（-\frac{4}{15}）}^{n-1}$，∴pn=$\frac{9}{19}$+$\frac{1}{38}$•${（-\frac{4}{15}）}^{n-1}$，
    故第n次闭合时，出现绿灯的概率是1-pn=$\frac{10}{19}$-$\frac{1}{38}$•${（-\frac{4}{15}）}^{n-1}$，
    故开关闭合10次时，出现绿灯的概率是$\frac{10}{19}$+$\frac{1}{38}$•${（\frac{4}{15}）}^{9}$．

    点评 本题考查了相互独立事件的概率乘法公式，解答的关键是能够正确分清各种情况，分类时做到不重不漏．

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    （Ⅰ）根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失
    表一：
    经济损失4000元以下经济损失4000元以上合计
    捐款超过500元30
    捐款低于500元6
    合计
    （Ⅱ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50居民捐款情况如表，在表一空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
    （Ⅲ）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7：00到8：00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7：30到8：30分之间的任意时刻来到小区，求连续3天内，有2天李师傅比张师傅早到小区的概率．
    附：临界值表
    k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
    P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001
    参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，n=a+b+c+d．

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