Question

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为，F₁和F₂，上顶点为B，BF₂，延长线交椭圆于点A，△ABF的周长为8，且$\overrightarrow{B{F_1}}•\overrightarrow{BA}$=0．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l⊥AB且与椭圆C相交于两点P，Q，求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆定义可得△ABF₁的周长为4a，解得a=2，再由向量的数量积的坐标表示，可得b=c，结合椭圆的a，b，c的关系，可得椭圆方程；
（Ⅱ）由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得直线l的斜率，进而设出直线l的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理，可得弦长的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆定义可得△ABF₁的周长为4a，即有4a=8，解得a=2，
由B（0，b），F₁（-c，0），F₂（c，0），$\overrightarrow{B{F}_{1}}$=（-c，-b），$\overrightarrow{B{F}_{2}}$=（c，-b），
且$\overrightarrow{B{F_1}}•\overrightarrow{BA}$=0，则-c²+b²=0，即为b=c，又b²+c²=a²=4，
解得b=c=$\sqrt{2}$，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）由B（0，$\sqrt{2}$），F₂（$\sqrt{2}$，0），可得直线AB的斜率为-1，
由l⊥AB，可得直线l的斜率为1，
设直线l的方程为y=x+t，代入椭圆方程，可得
3x²+4tx+2t²-4=0，
由判别式大于0，即16t²-12（2t²-4）＞0，解得-$\sqrt{6}$＜t＜$\sqrt{6}$．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{4}{3}$t，x₁x₂=$\frac{2{t}^{2}-4}{3}$，
|PQ|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{16{t}^{2}}{9}-\frac{8{t}^{2}-16}{3}}$
=$\frac{\sqrt{2}}{3}$$\sqrt{48-8{t}^{2}}$，当t=0时，|PQ|取得最大值，且为$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
则有|PQ|的最大值为$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．