Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+（k-1）x-k+$\frac{3}{2}$，g（x）=xlnx．
（Ⅰ）若函数g（x）的图象在（1，0）处的切线l与函数f（x）的图象相切，求实数k的值；
（Ⅱ）当k=0时，证明：f（x）+g（x）＞0；
（Ⅲ）设h（x）=f（x）+g′（x），若h（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁≠x₂），且h（x₁）+h（x₂）＜$\frac{7}{2}$，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出g（x）的导数，求得g（x）的图象在（1，0）处的切线斜率和切点，求得切线方程，联立f（x），运用判别式为0，即可得到k的值；
（Ⅱ）方法一、求得F（x）=f（x）+g（x）的导数，求得单调区间，得到最小值F（x₀），判断最小值大于0即可；方法二、分别求得f（x）和g（x）的最小值，即可得证；
（Ⅲ）求出h（x）的解析式，求得h（x）的导数，要使h（x）有两个极值点，需x²+（k-1）x+1=0有两个不等的正根，运用判别式大于0和韦达定理，可得k的范围，再由h（x₁）+h（x₂）＜$\frac{7}{2}$，化简整理可得k的不等式，解得k的范围，求交集即可得到k的范围．

解答 （Ⅰ）解：g（x）的导数g′（x）=1+lnx，
函数g（x）的图象在（1，0）处的切线斜率为g′（1）=1，切点为（1，0），
则直线l：y=x-1，
联立y=$\frac{1}{2}{x^2}$+（k-1）x-k+$\frac{3}{2}$，可得x²+2（k-2）x-2k+5=0，
由l与f（x）的图象相切，可得△=4（k-2）²-4（5-2k）=0，
解得k=1±$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）证法一：当k=0时，F（x）=f（x）+g（x）=xlnx+$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{3}{2}$，
F′（x）=lnx+x，x＞0，显然F′（x）在（0，+∞）递增，
设F′（x₀）=0，即lnx₀+x₀=0，易得x₀∈（0，1），
当x∈（0，x₀），F′（x）＜0，F（x）递减，当x∈（x₀，+∞），F′（x）＞0，F（x）递增．
F（x）的最小值为F（x₀），且为x₀lnx₀++$\frac{1}{2}$x₀²-x₀+$\frac{3}{2}$=x₀（-x₀+$\frac{1}{2}$x₀-1）$+\frac{3}{2}$
=-$\frac{1}{2}$x₀²-x₀+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x₀+3）（x₀-1），由x₀∈（0，1），F（x₀）＞0，
故F（x）＞0恒成立，即f（x）+g（x）＞0恒成立；
证法二：g′（x）=1+lnx，x∈（0，$\frac{1}{e}$），g′（x）＜0，g（x）递减，
x∈（$\frac{1}{e}$，+∞），g′（x）＞0，g（x）递增，
则g（x）在x=$\frac{1}{e}$处取得最小值-$\frac{1}{e}$，即g（x）$≥-\frac{1}{e}$，
又k=0时，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（x-1）²+1≥1，
则f（x）+g（x）＞1-$\frac{1}{e}$＞0恒成立；
（Ⅲ）设h（x）=f（x）+g′（x）=lnx+$\frac{1}{2}{x^2}$+（k-1）x-k+$\frac{5}{2}$，x＞0，
h′（x）=$\frac{1}{x}$+x+k-1=$\frac{{x}^{2}+（k-1）x+1}{x}$，
要使h（x）有两个极值点，需x²+（k-1）x+1=0有两个不等的正根，
则△=（k-1）²-4＞0，且-（k-1）＞0，解得k＜-1．
又x₁+x₂=-（k-1），x₁x₂=1，x₁＜x₂，
则x∈（0，x₁），h′（x）＞0，h（x）递增；x∈（x₁，x₂），h′（x）＜0，h（x）递减；
x∈（x₂，+∞），h′（x）＞0，h（x）递增；
x₁，x₂即为h（x）的极大值、极小值点．
而h（x₁）+h）（x₂）=lnx₁+$\frac{1}{2}$x₁²+（k-1）x₁-k+$\frac{5}{2}$+lnx₂+$\frac{1}{2}$x₂²+（k-1）x₂-k+$\frac{5}{2}$
=ln（x₁x₂）+$\frac{1}{2}$[（x₁+x₂）²-2（x₁+x₂）]+（k-1）（x₁+x₂）-2k+5
=-$\frac{1}{2}$k²-k+$\frac{7}{2}$，
所以-$\frac{1}{2}$k²-k+$\frac{7}{2}$＜$\frac{7}{2}$，解得k＜-2或k＞0．
综上可得，k的范围是（-∞，-2）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用，不等式恒成立思想的运用，考查运算能力，属于难题．