Question

2．如图，折线AOB为一条客机的飞机航线，其中OA、OB夹角为$\frac{2π}{3}$，若一架客机沿A-O-B方向飞行至距离O点90km处的C点时，发现航线转折点O处开始产生一个圆形区域的高压气旋，高压气旋范围内的区域为危险区域（含边界），为了保证飞行安全，客机航线需临时调整为CD，若CD与OA的夹角为θ，D在OB上，已知客机的飞行速度为15km/min．
（1）当飞机在临时航线上飞行t分钟至点E时，试用t和θ表示飞机到O点的距离OE；
（2）当飞机在临时航线上飞行t分钟时，高压气旋半径r=3t$\sqrt{t}$km，且半径增大到81km时不再继续增大，若CD与OA的夹角θ=$\frac{π}{4}$，试计算飞机在临时航线CD上是否能安全飞行．

Answer 1

分析 （1）OC=90km，AE=15t，∠OCE=θ，在△COE中，由余弦定理取得OE即可．
（2）求出t≤9，代入（1）判断OE与81的大小关系即可．

解答 解：（1）由题意，OC=90km，AE=15t，∠OCE=θ，在△COE中，由余弦定理可得：
∴OE=$\sqrt{8100+225{t}^{2}-2700tcosθ}$；
（2）由题意能安全飞行，必有3t$\sqrt{t}$≤81，可得t≤9，
此时OE=$\sqrt{8100+225×81-2700×9×\frac{\sqrt{2}}{2}}$≈$\sqrt{9145}$＞81，
飞机在临时航线CD上是安全飞行．

点评 本题考查三角函数的几何中的应用，余弦定理的应用，考查计算能力．